Décomposition En Produit De Facteurs Premiers Exercices Corrigés

La décomposition en produit de facteurs premiers est une compétence fondamentale en mathématiques. Elle est cruciale pour simplifier les fractions. Elle est essentielle pour la résolution de problèmes complexes. Cet article vous propose une exploration approfondie de cette technique. Il offre une série d'exercices corrigés pour maîtriser ce concept.

La décomposition consiste à exprimer un nombre entier comme un produit de nombres premiers. Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1. Il n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Pour décomposer un nombre, on le divise successivement par les nombres premiers. On commence par le plus petit, 2, et on continue tant que la division est possible. Ensuite, on passe au nombre premier suivant, 3, et ainsi de suite. Le processus se termine lorsque le quotient est égal à 1.

Considérons le nombre 84. Il est divisible par 2. 84 ÷ 2 = 42. 42 est également divisible par 2. 42 ÷ 2 = 21. 21 n'est pas divisible par 2, mais il est divisible par 3. 21 ÷ 3 = 7. 7 est un nombre premier. 7 ÷ 7 = 1. Donc, la décomposition en facteurs premiers de 84 est 2 x 2 x 3 x 7, soit 2² x 3 x 7.

Prenons un autre exemple, le nombre 360. 360 ÷ 2 = 180. 180 ÷ 2 = 90. 90 ÷ 2 = 45. 45 n'est pas divisible par 2, mais il est divisible par 3. 45 ÷ 3 = 15. 15 ÷ 3 = 5. 5 est un nombre premier. 5 ÷ 5 = 1. La décomposition en facteurs premiers de 360 est 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5, soit 2³ x 3² x 5.

Exercices Corrigés

Exercice 1 : Décomposer 48 en produit de facteurs premiers.

Solution :

48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1

Donc, 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3

Exercice 2 : Décomposer 150 en produit de facteurs premiers.

Solution :

150 ÷ 2 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1

Donc, 150 = 2 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 x 5²

Exercice 3 : Décomposer 225 en produit de facteurs premiers.

Solution :

225 ÷ 3 = 75
75 ÷ 3 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1

Donc, 225 = 3 x 3 x 5 x 5 = 3² x 5²

Exercice 4 : Décomposer 540 en produit de facteurs premiers.

Solution :

540 ÷ 2 = 270
270 ÷ 2 = 135
135 ÷ 3 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

Donc, 540 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3³ x 5

Exercice 5 : Décomposer 1000 en produit de facteurs premiers.

Solution :

1000 ÷ 2 = 500
500 ÷ 2 = 250
250 ÷ 2 = 125
125 ÷ 5 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1

Donc, 1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 2³ x 5³

Exercice 6 : Décomposer 1225 en produit de facteurs premiers.

Solution :

1225 ÷ 5 = 245
245 ÷ 5 = 49
49 ÷ 7 = 7
7 ÷ 7 = 1

Donc, 1225 = 5 x 5 x 7 x 7 = 5² x 7²

Applications de la Décomposition en Facteurs Premiers

La décomposition en facteurs premiers a de nombreuses applications. Elle permet de simplifier les fractions. Elle aide à trouver le plus grand commun diviseur (PGCD). Elle est utile pour déterminer le plus petit commun multiple (PPCM). Elle est essentielle en cryptographie.

Pour simplifier une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. On simplifie ensuite les facteurs communs. Par exemple, pour simplifier la fraction 84/360, on a vu que 84 = 2² x 3 x 7 et 360 = 2³ x 3² x 5. Donc, 84/360 = (2² x 3 x 7) / (2³ x 3² x 5) = 7 / (2 x 3 x 5) = 7/30.

Pour trouver le PGCD de deux nombres, on décompose chaque nombre en facteurs premiers. On identifie ensuite les facteurs premiers communs aux deux décompositions. Le PGCD est le produit de ces facteurs communs, élevés à la plus petite puissance à laquelle ils apparaissent dans les décompositions.

Pour trouver le PPCM de deux nombres, on décompose chaque nombre en facteurs premiers. On prend tous les facteurs premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions. Le PPCM est le produit de ces facteurs, élevés à la plus grande puissance à laquelle ils apparaissent dans les décompositions.

La maîtrise de la décomposition en facteurs premiers est donc essentielle pour progresser en mathématiques. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices proposés. Explorez d'autres exemples. Vous développerez ainsi une solide compréhension de ce concept fondamental. N'hésitez pas à consulter d'autres ressources pour approfondir vos connaissances.