Comment Calculer La Hauteur D'un Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur. L'objectif est de déterminer la hauteur de ce triangle. La hauteur est la ligne perpendiculaire tracée depuis un sommet jusqu'au côté opposé, divisant ce côté en deux parties égales.

Pour calculer la hauteur, on peut utiliser plusieurs méthodes.

Méthode 1: Utilisation du théorème de Pythagore

Soit a la longueur d'un côté du triangle équilatéral. La hauteur h divise le triangle en deux triangles rectangles congruents. L'hypoténuse de chacun de ces triangles rectangles est a. Une des cathètes est la moitié de la base du triangle équilatéral, donc a/2. L'autre cathète est la hauteur h que l'on cherche.

Appliquons le théorème de Pythagore : a² = (a/2)² + h².

Réarrangeons l'équation pour isoler h² : h² = a² - (a/2)².

Simplifions : h² = a² - a²/4.

Combinons les termes : h² = (4a² - a²)/4.

Donc, h² = 3a²/4.

Prenons la racine carrée des deux côtés : h = √(3a²/4).

Simplifions la racine carrée : h = (√3 * √a²) / √4.

Finalement : h = (a√3) / 2.

La hauteur d'un triangle équilatéral est donc égale à la longueur de son côté multipliée par la racine carrée de 3, divisée par 2.

Méthode 2: Utilisation de la trigonométrie

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60 degrés. La hauteur divise l'angle supérieur en deux angles de 30 degrés. On peut utiliser les fonctions trigonométriques dans l'un des triangles rectangles formés.

Considérons le sinus de l'angle de 60 degrés. Sin(60°) est égal au rapport de la longueur du côté opposé (la hauteur h) à la longueur de l'hypoténuse (le côté a du triangle équilatéral).

Donc, sin(60°) = h / a.

Nous savons que sin(60°) = √3 / 2.

Substituons : √3 / 2 = h / a.

Multiplions les deux côtés par a : h = (a√3) / 2.

Le résultat est le même qu'avec le théorème de Pythagore.

Méthode 3: Utilisation des aires

L'aire d'un triangle peut être calculée de deux manières : Aire = (base * hauteur) / 2 et, pour un triangle équilatéral, Aire = (a²√3) / 4.

La base du triangle équilatéral est a. La hauteur est h.

Donc, (a * h) / 2 = (a²√3) / 4.

Multiplions les deux côtés par 2 : a * h = (a²√3) / 2.

Divisons les deux côtés par a : h = (a√3) / 2.

Nous retrouvons le même résultat pour la hauteur.

Application Numérique

Supposons que le côté d'un triangle équilatéral mesure 6 cm.

En utilisant la formule h = (a√3) / 2, remplaçons a par 6 :

h = (6√3) / 2.

Simplifions : h = 3√3 cm.

La hauteur du triangle est donc de 3√3 cm, ce qui est approximativement égal à 5.20 cm.

Exemples Supplémentaires

Si a = 10 cm, alors h = (10√3) / 2 = 5√3 cm (environ 8.66 cm).

Si a = 4 cm, alors h = (4√3) / 2 = 2√3 cm (environ 3.46 cm).

Si a = 1 cm, alors h = (1√3) / 2 = √3 / 2 cm (environ 0.87 cm).

Importance de la précision

Il est crucial d'utiliser suffisamment de chiffres significatifs lors de l'approximation de √3 pour maintenir la précision du résultat final. Une valeur arrondie peut entraîner des erreurs significatives, surtout lorsque la longueur du côté du triangle est importante.