Pour déterminer l'expression algébrique d'une fonction, plusieurs méthodes existent. Le choix de la méthode dépend du type d'information dont vous disposez.
Si vous connaissez des points spécifiques de la fonction, utilisez ces informations pour établir un système d'équations.
Si la fonction est linéaire, son expression est de la forme f(x) = ax + b. Deux points suffisent pour déterminer les valeurs de 'a' et 'b'.
Calculez d'abord la pente, 'a', avec la formule : a = (y2 - y1) / (x2 - x1).
Ensuite, remplacez 'a' et les coordonnées d'un des points (x, y) dans l'équation y = ax + b pour trouver 'b'.
Pour une fonction quadratique, l'expression est f(x) = ax² + bx + c. Il faut au moins trois points pour déterminer 'a', 'b' et 'c'.
Formez un système de trois équations à trois inconnues en remplaçant x et y par les coordonnées des trois points.
Résolvez ce système pour trouver les valeurs de 'a', 'b' et 'c'. Utilisez des méthodes comme la substitution, l'élimination ou la méthode matricielle.
Si l'information donnée est le sommet (h, k) et un autre point (x, y), utilisez la forme canonique : f(x) = a(x - h)² + k.
Remplacez h et k par les coordonnées du sommet. Puis, remplacez x et y par les coordonnées de l'autre point pour trouver 'a'.
Pour une fonction exponentielle, l'expression est f(x) = abˣ. Deux points sont nécessaires pour trouver 'a' et 'b'.
Remplacez x et y par les coordonnées des deux points pour former un système de deux équations.
Isolez 'a' dans une des équations et remplacez-le dans l'autre équation. Résolvez pour trouver 'b'. Ensuite, remplacez 'b' dans une des équations initiales pour trouver 'a'.
Si vous avez une fonction polynomiale de degré supérieur, la situation se complexifie. La factorisation et la division polynomiale peuvent être utiles.
Si vous connaissez les racines de la fonction, vous pouvez écrire l'expression sous forme factorisée. Par exemple, si les racines sont x1, x2 et x3, alors f(x) = a(x - x1)(x - x2)(x - x3). Déterminez 'a' en utilisant un autre point sur la courbe.
Pour déterminer le degré du polynôme, analysez le comportement de la fonction à l'infini.
Si vous connaissez la dérivée de la fonction, intégrez-la pour trouver la fonction originale. N'oubliez pas d'ajouter la constante d'intégration, que vous pouvez déterminer en utilisant un point connu de la fonction.
Si vous connaissez l'asymptote horizontale, cette information peut vous aider à déterminer le comportement de la fonction lorsque x tend vers l'infini.
Si vous connaissez l'asymptote verticale, elle correspond à une valeur de x pour laquelle la fonction n'est pas définie. Cela peut vous aider à déterminer le dénominateur de la fonction, si elle est rationnelle.
Fonctions Trigonométriques
Pour une fonction trigonométrique de la forme f(x) = A sin(Bx + C) + D, vous devez déterminer les paramètres A, B, C et D.
'A' est l'amplitude. Déterminez-la en calculant la moitié de la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction.
'D' est le décalage vertical. C'est la moyenne des valeurs maximale et minimale de la fonction.
'B' affecte la période. La période est donnée par 2π/B. Si vous connaissez la période, vous pouvez trouver B.
'C' est le déphasage. Il détermine le décalage horizontal. Pour le trouver, identifiez un point significatif sur la courbe (par exemple, un maximum ou un minimum) et utilisez-le pour résoudre l'équation Bx + C = 0 ou Bx + C = π/2, selon le type de fonction.
Fonctions Définies par Morceaux
Si la fonction est définie par morceaux, déterminez l'expression algébrique pour chaque intervalle séparément.
Assurez-vous que les expressions algébriques correspondent aux points de jonction entre les intervalles.
Si la fonction est continue aux points de jonction, les valeurs des expressions doivent être égales à ces points.
Exemple Linéaire Détaillé
Supposons que vous ayez les points (1, 3) et (2, 5). La pente 'a' est (5 - 3) / (2 - 1) = 2.
Utilisez le point (1, 3) et la pente a = 2 dans l'équation y = ax + b: 3 = 2 * 1 + b. Donc, b = 1.
L'expression algébrique est donc f(x) = 2x + 1.
Exemple Quadratique Détaillé
Supposons que les points sont (0, 1), (1, 2) et (2, 5).
En utilisant (0, 1): 1 = a(0)² + b(0) + c, donc c = 1.
En utilisant (1, 2): 2 = a(1)² + b(1) + 1, donc a + b = 1.
En utilisant (2, 5): 5 = a(2)² + b(2) + 1, donc 4a + 2b = 4, ce qui simplifie à 2a + b = 2.
Soustrayez l'équation a + b = 1 de l'équation 2a + b = 2, ce qui donne a = 1.
Puis, remplacez a = 1 dans a + b = 1, ce qui donne b = 0.
L'expression algébrique est donc f(x) = x² + 1.
La précision et la méthode employée dépendent des informations fournies. Une analyse rigoureuse des données disponibles est primordiale.
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