Valeur Approchée Par Défaut Et Par Excès Exercice Corrige

Dans le domaine des mathématiques, la notion de valeur approchée par défaut et par excès est cruciale. Elle permet d'encadrer un nombre réel par deux valeurs rationnelles. Maîtriser ces concepts est essentiel pour aborder des problèmes complexes avec précision.

La valeur approchée par défaut, aussi appelée troncature, est la valeur arrondie inférieure. Pour un nombre donné et une précision fixée, c'est le plus grand nombre rationnel inférieur ou égal au nombre initial.

La valeur approchée par excès, quant à elle, est la valeur arrondie supérieure. C'est le plus petit nombre rationnel supérieur ou égal au nombre initial, compte tenu de la précision désirée.

L'écart entre la valeur réelle et les valeurs approchées constitue l'erreur d'approximation. Cette erreur est toujours inférieure ou égale à la précision choisie. Minimiser cette erreur est un objectif constant dans les applications numériques.

Ces approximations sont utilisées dans divers contextes. Elles sont essentielles dans l'ingénierie, l'informatique et les sciences physiques. Le calcul numérique s'appuie fortement sur ces méthodes.

Considérons un exemple concret. Soit le nombre π (pi), dont la valeur est approximativement 3,1415926535...

La valeur approchée par défaut de π à l'unité est 3.
La valeur approchée par excès de π à l'unité est 4.
La valeur approchée par défaut de π au dixième est 3,1.
La valeur approchée par excès de π au dixième est 3,2.
La valeur approchée par défaut de π au centième est 3,14.
La valeur approchée par excès de π au centième est 3,15.

On constate que l'intervalle encadrant π se resserre au fur et à mesure que la précision augmente.

Exercices et Applications

Résolvons maintenant quelques exercices pour illustrer l'application pratique de ces concepts.

Exercice 1: Déterminer les valeurs approchées par défaut et par excès de √2 au millième près.

√2 ≈ 1,41421356...

Valeur approchée par défaut au millième: 1,414
Valeur approchée par excès au millième: 1,415

Exercice 2: Encadrer le nombre e (base du logarithme népérien) à 10-4 près.

e ≈ 2,718281828...

Valeur approchée par défaut à 10-4: 2,7182
Valeur approchée par excès à 10-4: 2,7183

Exercice 3: Un rectangle a une longueur de 5,23 cm et une largeur de 3,17 cm. Donner un encadrement de son aire en utilisant des valeurs approchées au centième.

Aire = Longueur x Largeur = 5,23 x 3,17 ≈ 16,5891 cm²

Valeur approchée par défaut au centième: 16,58 cm²
Valeur approchée par excès au centième: 16,59 cm²

L'aire du rectangle est donc comprise entre 16,58 cm² et 16,59 cm².

Importance de la Précision

Le choix de la précision dépend du contexte. Dans certains cas, une approximation grossière suffit. Dans d'autres, une grande précision est indispensable.

En ingénierie, une précision accrue est souvent nécessaire pour garantir la sécurité et la fiabilité des structures. En finance, des erreurs minimes peuvent avoir des conséquences financières importantes.

L'informatique utilise ces approximations de manière intensive. Les ordinateurs ne peuvent représenter les nombres réels qu'avec une précision limitée. Les algorithmes de calcul numérique doivent tenir compte de ces limitations.

Conclusion

La compréhension des valeurs approchées par défaut et par excès est fondamentale. Elle permet d'estimer des quantités avec une précision contrôlée. La maîtrise de ces concepts est un atout précieux dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Ces exercices permettent de consolider la compréhension de ces notions et de les appliquer efficacement dans des situations concrètes. L'importance de la précision ne doit jamais être sous-estimée.