Montrer Qu'une Suite Est Géométrique Exercice Corrigé

Démontrer qu'une suite est géométrique requiert une compréhension précise des définitions et une application rigoureuse des méthodes appropriées. Nous allons explorer en détail les techniques et les exercices corrigés qui vous permettront de maîtriser cet aspect fondamental des mathématiques.

La définition d'une suite géométrique est essentielle. Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q * un. En d'autres termes, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante.

Pour prouver qu'une suite est géométrique, il faut vérifier cette relation. Cela implique de calculer le rapport un+1 / un et de démontrer que ce rapport est constant, indépendant de n.

Calcul du Rapport un+1 / un

C'est l'étape cruciale. Il faut exprimer un+1 en fonction de n, puis former le quotient avec un. La simplification de cette expression est impérative.

Considérons un exemple. Soit la suite (un) définie par un = 3 * 2n. Calculons un+1. On a un+1 = 3 * 2(n+1) = 3 * 2n * 2.

Formons maintenant le rapport un+1 / un. On obtient (3 * 2n * 2) / (3 * 2n) = 2. Le rapport est constant et égal à 2. Donc, la suite (un) est géométrique de raison 2.

Un autre exemple, un peu plus complexe, peut impliquer des expressions fractionnaires ou polynomiales. Soit un = 5 / 4n. Calculons un+1 = 5 / 4(n+1) = 5 / (4n * 4).

Le rapport un+1 / un est alors (5 / (4n * 4)) / (5 / 4n) = (5 / (4n * 4)) * (4n / 5) = 1/4. La suite (un) est géométrique de raison 1/4.

Manipulation Algébrique et Simplification

La simplification est primordiale. Des erreurs courantes incluent une simplification incorrecte des expressions. Maîtriser les règles de calcul algébrique est donc indispensable.

Prenons un exemple où la simplification est cruciale. Soit un = (n + 1) / 2n. Calculons un+1 = (n + 2) / 2(n+1) = (n + 2) / (2n * 2).

Le rapport un+1 / un est ((n + 2) / (2n * 2)) / ((n + 1) / 2n) = ((n + 2) / (2n * 2)) * (2n / (n + 1)) = (n + 2) / (2(n + 1)).

Dans ce cas, le rapport n'est pas constant. La suite n'est donc pas géométrique. Il est vital de reconnaître quand un rapport n'est pas constant.

Cas Particuliers et Pièges à Éviter

Certaines suites présentent des particularités. Une suite peut être géométrique à partir d'un certain rang. Il faut donc vérifier la condition pour tous les n supérieurs ou égaux à un certain entier.

Un piège courant est de conclure trop rapidement à partir de quelques termes seulement. Il faut démontrer que la relation un+1 = q * un est valable pour tout n.

Exercices Corrigés Détaillés

Exercice 1 : Soit la suite (un) définie par un = 7 * (-3)n. Montrer que (un) est géométrique.

Calculons un+1 = 7 * (-3)n+1 = 7 * (-3)n * (-3).

Le rapport un+1 / un est (7 * (-3)n * (-3)) / (7 * (-3)n) = -3. La suite est géométrique de raison -3.

Exercice 2 : Soit la suite (vn) définie par vn = (2n + 1) / 3. Montrer que (vn) n'est pas géométrique.

Calculons vn+1 = (2(n+1) + 1) / 3 = (2n + 3) / 3.

Le rapport vn+1 / vn est ((2n + 3) / 3) / ((2n + 1) / 3) = (2n + 3) / (2n + 1). Ce rapport dépend de n. La suite n'est pas géométrique.

Exercice 3 : Soit la suite (wn) définie par wn = 4n+1 + 1. Etudier si (wn) est géométrique.

Calculons wn+1 = 4(n+1)+1 + 1 = 4n+2 + 1.

Le rapport wn+1 / wn est (4n+2 + 1) / (4n+1 + 1). Essayons de manipuler cette expression : (4 * 4n+1 + 1) / (4n+1 + 1). Il est clair que ce rapport n'est pas constant, car il dépend de n. Par conséquent, la suite (wn) n'est pas géométrique.

Conclusion

La démonstration qu'une suite est géométrique exige rigueur et méthode. La maîtrise du calcul du rapport un+1 / un et de sa simplification est fondamentale. L'étude attentive des cas particuliers et la vigilance face aux pièges courants complètent cette compétence. Avec une pratique régulière et une compréhension approfondie des concepts, vous serez en mesure de prouver avec certitude la nature géométrique d'une suite.