Formule Pour Calculer La Hauteur D'un Triangle Rectangle

Dans un triangle rectangle, déterminer la hauteur peut sembler complexe, mais des formules précises existent. Elles varient selon la hauteur recherchée. L'hypoténuse sert de base. Les deux autres côtés forment l'angle droit.

Calculons la hauteur relative à l'hypoténuse.

On utilise l'aire du triangle rectangle. Elle se calcule de deux manières. La première : (base * hauteur) / 2. Ici, la base est un des côtés formant l'angle droit, et la hauteur est l'autre côté. La deuxième : (hypoténuse * hauteur relative à l'hypoténuse) / 2.

Soient a et b les côtés formant l'angle droit, et c l'hypoténuse. Soit h la hauteur relative à l'hypoténuse.

L'aire est donc (a * b) / 2 et aussi (c * h) / 2.

On égalise les deux expressions. (a * b) / 2 = (c * h) / 2. On simplifie. a * b = c * h.

On isole h. h = (a * b) / c. Cette formule est fondamentale. Elle permet de calculer directement la hauteur relative à l'hypoténuse. On multiplie les longueurs des deux côtés formant l'angle droit. On divise ensuite par la longueur de l'hypoténuse.

Illustrons avec un exemple. Soit un triangle rectangle avec a = 3, b = 4, et c = 5. h = (3 * 4) / 5 = 12 / 5 = 2.4.

La hauteur relative à l'hypoténuse est donc 2.4.

Calcul des autres hauteurs.

Les hauteurs relatives aux côtés formant l'angle droit sont plus simples. Elles correspondent directement aux côtés eux-mêmes. Si on prend le côté a comme base, le côté b est la hauteur correspondante. Inversement, si b est la base, a est la hauteur. Il n'y a pas de calcul supplémentaire.

Relations métriques dans le triangle rectangle.

Plusieurs relations métriques impliquent la hauteur. Elles lient les longueurs des côtés, de l'hypoténuse et de la hauteur. Ces relations dérivent du théorème de Pythagore et de la similitude des triangles.

On considère le triangle rectangle ABC, rectangle en A. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur l'hypoténuse BC. On a AH = h, BH = x, HC = y, AB = c, AC = b, et BC = a (l'hypoténuse).

Première relation : a = x + y. L'hypoténuse est la somme des segments qu'elle forme avec le pied de la hauteur.

Deuxième relation (Théorème de la hauteur) : h² = x * y. Le carré de la hauteur est égal au produit des segments formés sur l'hypoténuse.

Troisième relation (Théorème des cathètes) : b² = a * y et c² = a * x. Le carré d'un côté de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par sa projection sur cette dernière.

Ces relations permettent de déterminer des longueurs inconnues. On utilise les informations disponibles. Par exemple, si on connaît a et x, on peut calculer y et ensuite h. On utilise h² = x * y.

Cas particuliers.

Dans un triangle rectangle isocèle, les côtés formant l'angle droit sont égaux. La hauteur relative à l'hypoténuse coupe l'hypoténuse en son milieu. Cette hauteur est aussi la médiane. Elle divise le triangle en deux triangles rectangles isocèles identiques. La longueur de cette hauteur est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse divisée par la racine carrée de 2. Soit a le côté égal, l'hypoténuse est a * sqrt(2), la hauteur est a/sqrt(2).

Erreurs fréquentes.

Une erreur fréquente est de confondre la hauteur relative à l'hypoténuse avec un des côtés formant l'angle droit. Il est crucial d'identifier correctement la base et la hauteur dans chaque situation.

Une autre erreur est d'oublier d'utiliser les bonnes unités. Si les côtés sont en centimètres, la hauteur sera aussi en centimètres.

Vérification des résultats.

On peut vérifier les résultats en utilisant le théorème de Pythagore. On l'applique aux triangles rectangles formés par la hauteur relative à l'hypoténuse. On vérifie que a² = b² + c².

Applications pratiques.

Le calcul de la hauteur d'un triangle rectangle est utile dans divers domaines. Par exemple, en architecture et en construction. On calcule des pentes, des distances et des surfaces. En physique, on décompose des forces. On calcule des trajectoires.

En résumé, les formules pour calculer la hauteur d'un triangle rectangle sont précises. La formule h = (a * b) / c est essentielle pour la hauteur relative à l'hypoténuse. Les côtés formant l'angle droit sont leurs propres hauteurs respectives. Les relations métriques offrent des alternatives. Une compréhension claire de ces concepts assure une application correcte dans divers contextes.