Donner Un Encadrement D'amplitude 1 De Chaque Nombre

L'encadrement d'un nombre représente une technique fondamentale de l'arithmétique. Elle permet de situer un nombre donné entre deux valeurs, offrant ainsi une approximation et une compréhension de sa magnitude. Nous explorerons ici la méthode spécifique d'encadrement d'amplitude 1.

Définition de l'Encadrement d'Amplitude 1

L'encadrement d'amplitude 1 consiste à trouver deux entiers consécutifs entre lesquels se situe un nombre réel. L'intervalle formé par ces deux entiers a une longueur de 1.

Méthodologie

Pour encadrer un nombre x avec une amplitude de 1, il convient de déterminer l'entier immédiatement inférieur ou égal à x, ainsi que l'entier immédiatement supérieur.

L'entier inférieur ou égal à x est appelé la partie entière de x, notée ⌊x⌋. L'entier supérieur est simplement ⌊x⌋ + 1.

Par conséquent, l'encadrement de x d'amplitude 1 s'exprime comme suit :

⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1

Exemples Concrets

Considérons le nombre π (pi), approximativement égal à 3.14159. Sa partie entière est 3. Son encadrement d'amplitude 1 est donc :

3 ≤ π < 4

Prenons un autre exemple : le nombre -2.7. Sa partie entière est -3. Son encadrement d'amplitude 1 est :

-3 ≤ -2.7 < -2

Applications Pratiques

L'encadrement d'amplitude 1 trouve son utilité dans divers domaines.

Arrondis : Il sert de base pour l'arrondi des nombres à l'entier le plus proche. Si un nombre x est plus proche de ⌊x⌋ que de ⌊x⌋ + 1, on l'arrondit à ⌊x⌋. Sinon, on l'arrondit à ⌊x⌋ + 1.
Informatique : Dans la programmation, la fonction partie entière est fréquemment utilisée pour la manipulation des nombres réels.
Calcul Mental : L'encadrement permet une estimation rapide de la valeur d'un nombre.

Cas Particuliers

Il est important de noter le cas des nombres entiers. Si x est un entier, alors ⌊x⌋ = x. L'encadrement devient :

x ≤ x < x + 1

Encadrement et Précision

Bien que simple, l'encadrement d'amplitude 1 offre une précision limitée. Pour une approximation plus fine, on peut recourir à des encadrements d'amplitude plus petite. Par exemple, on peut encadrer un nombre au dixième près, au centième près, etc.

Encadrement d'amplitude inférieure à 1

Pour un encadrement d'amplitude a inférieure à 1, on divise le nombre x par a. On calcule ensuite la partie entière du résultat. Finalement, on multiplie la partie entière et son successeur par a pour obtenir l'encadrement.

Exemple : Encadrer π au dixième près (amplitude 0.1).

π / 0.1 ≈ 31.4159
⌊31.4159⌋ = 31
31 * 0.1 = 3.1
(31 + 1) * 0.1 = 3.2

Donc, 3.1 ≤ π < 3.2

Conclusion

L'encadrement d'amplitude 1 constitue une méthode essentielle et élémentaire pour la manipulation et la compréhension des nombres réels. Sa simplicité et son applicabilité en font un outil précieux dans de nombreux contextes mathématiques et pratiques. Maîtriser cette technique ouvre la voie à des approximations plus précises et à une meilleure intuition numérique. Sa compréhension est cruciale pour progresser vers des concepts mathématiques plus avancés.