Comment Montrer Qu'un Quadrilatère Est Un Parallélogramme

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, plusieurs méthodes s'offrent à vous. Chaque méthode s'appuie sur une propriété spécifique des parallélogrammes. Explorons les différentes approches avec précision.

La première méthode consiste à prouver que les côtés opposés sont parallèles deux à deux. C'est la définition même du parallélogramme. Vous devez donc démontrer que (AB) // (CD) et que (AD) // (BC). Pour ce faire, calculez les coefficients directeurs des droites. Si les coefficients directeurs des droites opposées sont égaux, alors ces droites sont parallèles.

Une autre méthode implique de montrer que les côtés opposés sont de même longueur deux à deux. Mesurez ou calculez les longueurs des côtés AB, CD, AD et BC. Si AB = CD et AD = BC, alors le quadrilatère est un parallélogramme. Cette méthode est particulièrement utile si vous connaissez déjà les coordonnées des sommets du quadrilatère. La formule de la distance entre deux points vous sera alors indispensable.

Une troisième approche s'appuie sur les diagonales. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Déterminez les coordonnées du milieu des diagonales [AC] et [BD]. Si ces milieux coïncident, alors le quadrilatère est un parallélogramme. Cette méthode est efficace lorsque vous travaillez avec des coordonnées et que le parallélisme des côtés est difficile à établir directement.

Il existe également une méthode hybride. Prouvez qu'une paire de côtés opposés est à la fois parallèle et de même longueur. Si vous démontrez que (AB) // (CD) et que AB = CD (ou que (AD) // (BC) et AD = BC), vous pouvez conclure que le quadrilatère est un parallélogramme. Cette méthode est souvent la plus rapide si les données de l'exercice s'y prêtent.

Enfin, une dernière méthode, plus rare, consiste à démontrer que les angles opposés sont égaux deux à deux. Mesurez ou calculez les angles Â, C, B et D. Si Â = C et B = D, alors le quadrilatère est un parallélogramme. Cette approche est moins courante car le calcul direct des angles est souvent plus complexe que la mesure des longueurs ou la détermination du parallélisme.

Démonstration Pratique : Exemples Concrets

Prenons un exemple. Soit un quadrilatère ABCD dont les sommets ont pour coordonnées : A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2) et D(4, -2). Vérifions si ce quadrilatère est un parallélogramme.

Calculons les longueurs des côtés opposés. AB = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. CD = √((7-4)² + (2-(-2))²) = √(9 + 16) = √25 = 5. AD = √((4-1)² + (-2-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. BC = √((7-4)² + (2-6)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Dans ce cas précis, nous avons AB = CD et AD = BC. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme. De plus, tous les côtés sont égaux. Cela suggère même que le quadrilatère pourrait être un losange, un cas particulier de parallélogramme.

Considérons maintenant un autre exemple. Soit un quadrilatère EFGH avec E(0, 0), F(2, 2), G(5, 2) et H(3, 0). Déterminons les coordonnées des milieux des diagonales [EG] et [FH].

Milieu de [EG]: ((0+5)/2, (0+2)/2) = (2.5, 1). Milieu de [FH]: ((2+3)/2, (2+0)/2) = (2.5, 1).

Les milieux des diagonales coïncident. Par conséquent, le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

Chaque méthode possède ses avantages et ses inconvénients. Le choix de la méthode la plus appropriée dépendra des informations dont vous disposez. Analysez attentivement les données du problème avant de commencer votre démonstration.

N'oubliez pas de justifier chaque étape de votre raisonnement. Indiquez clairement la propriété du parallélogramme que vous utilisez. Une démonstration rigoureuse est essentielle pour convaincre votre interlocuteur de la validité de votre conclusion.