Tableau De Variation D'une Fonction Exercice Corrigé

Ah, le tableau de variation ! Un outil indispensable pour décortiquer le comportement d'une fonction. Accrochez-vous, car nous allons plonger au cœur de cet instrument avec une précision chirurgicale.

Pour appréhender pleinement un tableau de variation, il faut une maîtrise impeccable de la dérivation. Sans la dérivée, point de salut ! C'est elle qui révèle les secrets de la fonction : ses montées, ses descentes, ses points critiques.

La première étape consiste à déterminer le domaine de définition de la fonction. Une omission ici peut fausser toute l'analyse. Soyez rigoureux ! Identifiez les valeurs interdites, les intervalles où la fonction est définie.

Calculez ensuite la dérivée de la fonction. Simplifiez-la autant que possible. Une dérivée complexe rendra l'étude du signe laborieuse.

L'étape cruciale : l'étude du signe de la dérivée. Factorisez, trouvez les racines, utilisez un tableau de signes intermédiaire. L'objectif est de déterminer les intervalles où la dérivée est positive, négative ou nulle.

N'oubliez pas les valeurs qui annulent la dérivée, mais qui ne sont pas des extremums. Ces points d'inflexion peuvent modifier la concavité de la courbe.

H2: Construction du Tableau de Variation

Voici le moment tant attendu. Le tableau de variation prend forme.

La première ligne du tableau représente l'axe des abscisses, avec les valeurs importantes : bornes du domaine de définition, racines de la dérivée, valeurs interdites. Classez ces valeurs par ordre croissant.

La deuxième ligne est dédiée au signe de la dérivée. Utilisez les informations obtenues lors de l'étude du signe. Indiquez les intervalles où la dérivée est positive (+), négative (-) ou nulle (0). N'oubliez pas les doubles barres pour les valeurs interdites.

La troisième ligne, et la plus informative, décrit les variations de la fonction. Une flèche montante indique que la fonction est croissante (dérivée positive). Une flèche descendante indique que la fonction est décroissante (dérivée négative). Une ligne horizontale indique que la fonction est constante (dérivée nulle).

Calculez les valeurs de la fonction aux points critiques (racines de la dérivée) et aux bornes du domaine de définition. Indiquez ces valeurs aux extrémités des flèches dans le tableau. Ces valeurs représentent les extremums locaux (maximums et minimums) de la fonction.

N'oubliez pas les limites aux bornes du domaine de définition, en particulier si le domaine est non borné ou si la fonction présente des asymptotes. Indiquez ces limites dans le tableau.

Si la fonction présente des valeurs interdites, indiquez les limites à gauche et à droite de ces valeurs. Cela peut révéler la présence d'asymptotes verticales.

H2: Exemple Concret

Considérons la fonction f(x) = x³ - 3x. Son domaine de définition est ℝ.

La dérivée est f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1).

La dérivée s'annule en x = -1 et x = 1.

Étudions le signe de la dérivée :

Pour x < -1, f'(x) > 0 (fonction croissante)
Pour -1 < x < 1, f'(x) < 0 (fonction décroissante)
Pour x > 1, f'(x) > 0 (fonction croissante)

Calculons les valeurs de la fonction aux points critiques :

f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2
f(1) = (1)³ - 3(1) = 1 - 3 = -2

Tableau de variation :

| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | | :----- | :-------- | :-------- | :-------- | :-------- | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | | f(x) | Croissante | 2 | Décroissante | -2 | Croissante | | | +∞ | | | | +∞ |

Ce tableau nous révèle que la fonction est croissante jusqu'à x = -1, où elle atteint un maximum local de 2. Ensuite, elle décroît jusqu'à x = 1, où elle atteint un minimum local de -2. Enfin, elle croît à nouveau vers +∞.

H2: Pièges à Éviter

Oublier le domaine de définition : C'est une erreur fréquente qui invalide toute l'analyse.
Erreurs de calcul de la dérivée : Une dérivée incorrecte conduit à une étude de signe erronée.
Négliger les valeurs interdites : Elles peuvent indiquer la présence d'asymptotes.
Confondre maximum local et maximum global : Le tableau de variation ne donne que des informations locales.
Manque de rigueur dans l'étude du signe : Une erreur de signe peut inverser les variations de la fonction.

La maîtrise du tableau de variation est un atout précieux pour l'étude des fonctions. Entraînez-vous régulièrement et vous deviendrez un expert dans l'art de décortiquer le comportement des fonctions. N'oubliez pas, la clé du succès réside dans la rigueur et la précision.