étudier Les Variations D'une Fonction Exercice Corrigé

Pour étudier les variations d'une fonction, nous suivons une démarche précise. Le but est de déterminer les intervalles où la fonction croît, décroît ou reste constante. Nous identifions également les extrema locaux (maximums et minimums) et globaux.

Calcul de la Dérivée

La première étape est le calcul de la dérivée première de la fonction, notée f'(x). Cette dérivée nous renseigne sur la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en chaque point. Des règles de dérivation spécifiques s'appliquent selon la forme de la fonction (polynôme, exponentielle, trigonométrique, etc.).

Si f(x) = x³, alors f'(x) = 3x². Si f(x) = sin(x), alors f'(x) = cos(x). Si f(x) = eˣ, alors f'(x) = eˣ. Si f(x) = ln(x), alors f'(x) = 1/x.

Recherche des Points Critiques

Les points critiques sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée f'(x) s'annule ou n'est pas définie. Ces points sont cruciaux car ils peuvent correspondre à des extrema locaux. On résout donc l'équation f'(x) = 0. On identifie aussi les points où f'(x) n'existe pas (par exemple, division par zéro ou racine carrée d'un nombre négatif).

Exemple: Si f'(x) = 3x² - 12, on résout 3x² - 12 = 0, ce qui donne x² = 4, donc x = 2 et x = -2.

Tableau de Signe de la Dérivée

On construit un tableau de signe de la dérivée. Ce tableau indique le signe de f'(x) sur les différents intervalles définis par les points critiques. Le signe de f'(x) détermine le sens de variation de la fonction f(x).

Si f'(x) > 0, alors f(x) est croissante.
Si f'(x) < 0, alors f(x) est décroissante.
Si f'(x) = 0, alors f(x) a un point stationnaire (possible extremum local).

Dans le tableau, on inclut :

La ligne pour x, couvrant l'ensemble de définition de la fonction.
Les points critiques, où f'(x) = 0 ou n'existe pas.
La ligne pour f'(x), indiquant le signe de la dérivée sur chaque intervalle.

Exemple (suite): Pour f'(x) = 3x² - 12, le tableau de signe sera:

| x | -∞ | -2 | 2 | +∞ | | -------- | ------ | ------ | ------ | ------ | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | | f(x) | Croît | Max | Décroît| Min | Croît |

Détermination des Variations

Grâce au tableau de signe de la dérivée, on peut déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction. On indique clairement où la fonction est croissante (f'(x) > 0), décroissante (f'(x) < 0) ou constante (f'(x) = 0).

On remplit alors la ligne de f(x) dans le tableau.

Identification des Extrema Locaux

Les extrema locaux sont les maximums et minimums relatifs de la fonction. Ils se situent aux points critiques où la dérivée change de signe.

Si f'(x) passe de positif à négatif, alors on a un maximum local.
Si f'(x) passe de négatif à positif, alors on a un minimum local.

Exemple (suite): En x = -2, f'(x) passe de positif à négatif, donc f(x) a un maximum local en x = -2. En x = 2, f'(x) passe de négatif à positif, donc f(x) a un minimum local en x = 2.

Calcul des Valeurs des Extrema

Pour connaître la valeur des extrema, on remplace les abscisses des points critiques dans l'expression de la fonction originale f(x).

Exemple (suite): Si f(x) = x³ - 12x, alors f(-2) = (-2)³ - 12(-2) = -8 + 24 = 16. Le maximum local est donc 16. Et f(2) = (2)³ - 12(2) = 8 - 24 = -16. Le minimum local est donc -16.

Recherche des Asymptotes (si applicable)

On recherche les asymptotes verticales, horizontales et obliques.

Asymptotes verticales : On recherche les valeurs de x où la fonction tend vers l'infini. Cela se produit souvent quand le dénominateur d'une fraction s'annule.
Asymptotes horizontales : On calcule les limites de f(x) quand x tend vers +∞ et -∞. Si ces limites sont finies, alors la fonction a une asymptote horizontale.
Asymptotes obliques : Si la fonction n'a pas d'asymptote horizontale mais que la limite de f(x)/x quand x tend vers +∞ ou -∞ est finie et non nulle, alors la fonction peut avoir une asymptote oblique. On détermine son équation (y = ax + b).

Représentation Graphique

La dernière étape est la représentation graphique de la fonction. On utilise toutes les informations obtenues (variations, extrema, asymptotes) pour tracer la courbe représentative de la fonction. Cette représentation visuelle permet de confirmer et de mieux comprendre le comportement de la fonction. On peut utiliser un logiciel de tracé de courbes pour cela.