Comment Montrer Que Deux Vecteurs Sont Colinéaires Dans L'espace

Pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires dans l'espace, plusieurs méthodes s'offrent à vous. Chacune possède ses avantages et s'adapte à différents types d'informations dont vous disposez.

La première approche, et sans doute la plus fondamentale, repose sur la définition même de la colinéarité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un scalaire k, un nombre réel, tel que $\vec{u} = k\vec{v}$. Il s'agit donc de prouver l'existence de ce scalaire.

Pour ce faire, exprimez les composantes de vos vecteurs. Si $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$, vous devez résoudre le système d'équations suivant :

$x_u = kx_v$ $y_u = ky_v$ $z_u = kz_v$

Si une même valeur de k satisfait ces trois équations, alors les vecteurs sont colinéaires. Si aucune valeur de k ne peut vérifier simultanément les trois équations, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Il est crucial de vérifier les trois équations, car une seule équation vérifiée ne suffit pas à conclure.

Prenons un exemple. Soient $\vec{u} = (2, 4, 6)$ et $\vec{v} = (1, 2, 3)$. On observe rapidement que $2 = 21$, $4 = 22$, et $6 = 2*3$. La valeur k = 2 fonctionne pour les trois composantes. Par conséquent, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Considérons maintenant $\vec{u} = (2, 4, 6)$ et $\vec{v} = (1, 2, 4)$. On a $2 = 21$ et $4 = 22$, mais $6 \neq 2*4$. Il n'existe aucune valeur de k qui puisse satisfaire les trois équations. Ainsi, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Une autre méthode, particulièrement utile lorsque vous travaillez avec des points et non directement avec les vecteurs, consiste à démontrer que trois points A, B et C sont alignés. Pour ce faire, formez les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Si ces deux vecteurs sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés. Rappelez-vous que l'alignement de trois points est une conséquence directe de la colinéarité des vecteurs formés par ces points.

Calculez les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en soustrayant les coordonnées du point initial aux coordonnées du point final. Par exemple, si A = (x_A, y_A, z_A) et B = (x_B, y_B, z_B), alors $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. Ensuite, appliquez la méthode décrite précédemment pour déterminer si ces vecteurs sont colinéaires.

Il existe une autre approche impliquant le produit vectoriel. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est égal au vecteur nul : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$.

Calculez le produit vectoriel. Si le résultat est (0, 0, 0), alors les vecteurs sont colinéaires. Si au moins une composante du produit vectoriel est non nulle, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Cette méthode est particulièrement efficace si vous êtes déjà familiarisé avec le calcul du produit vectoriel.

Rappelons la formule du produit vectoriel :

Si $\vec{u} = (x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v} = (x_v, y_v, z_v)$, alors $\vec{u} \times \vec{v} = (y_u z_v - z_u y_v, z_u x_v - x_u z_v, x_u y_v - y_u x_v)$.

Finalement, le choix de la méthode dépend des informations dont vous disposez et de votre familiarité avec les différents outils vectoriels. La méthode de la proportionnalité des composantes est souvent la plus intuitive. L'alignement de points se ramène à la colinéarité des vecteurs. Le produit vectoriel offre une alternative élégante et directe. Assurez-vous de bien comprendre la théorie sous-jacente à chaque méthode pour l'appliquer correctement et en toute confiance.