Comment Calculer Le Coefficient Directeur D'une Fonction Affine

Une fonction affine se définit par une équation de la forme f(x) = ax + b, où 'a' représente le coefficient directeur et 'b' l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur 'a' indique la pente de la droite. Il exprime la variation de 'y' pour une variation unitaire de 'x'.

Pour calculer 'a', nous disposons de plusieurs méthodes.

À partir de deux points

Si vous connaissez deux points distincts (x1, y1) et (x2, y2) situés sur la droite, la formule est la suivante:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Cette formule calcule la variation de 'y' divisée par la variation de 'x'. Assurez-vous que x1 ≠ x2. Sinon, la droite est verticale et le coefficient directeur n'est pas défini.

Prenons l'exemple des points A(1, 3) et B(4, 9). Appliquez la formule :

a = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2

Le coefficient directeur est donc 2.

Si les points sont C(-2, 1) et D(3, -4), le calcul devient :

a = (-4 - 1) / (3 - (-2)) = -5 / 5 = -1

Le coefficient directeur est -1.

À partir de l'équation de la droite

Si l'équation de la droite est donnée sous la forme y = ax + b, il suffit d'identifier le coefficient 'a'.

Par exemple, si y = 5x - 2, le coefficient directeur est 5. Si y = -3x + 7, le coefficient directeur est -3.

Si l'équation est sous une forme différente, comme 2y = 4x + 6, isolez 'y' pour obtenir la forme y = ax + b. Dans ce cas, divisez toute l'équation par 2:

y = 2x + 3

Le coefficient directeur est alors 2.

Si l'équation est sous la forme ax + by + c = 0, réarrangez-la pour isoler 'y'. Par exemple, si 3x + y - 1 = 0, isolez 'y' :

y = -3x + 1

Le coefficient directeur est -3.

À partir d'un graphique

Sur un graphique, choisissez deux points distincts sur la droite. Déterminez leurs coordonnées (x1, y1) et (x2, y2). Utilisez ensuite la formule a = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Visuellement, 'y2 - y1' représente le déplacement vertical (la "montée"), et 'x2 - x1' représente le déplacement horizontal (le "déplacement"). Le coefficient directeur est donc la "montée sur le déplacement" (rise over run).

Cas particuliers

Si la droite est horizontale, sa pente est nulle. Son équation est de la forme y = b. Le coefficient directeur est donc 0.

Si la droite est verticale, son coefficient directeur n'est pas défini. Son équation est de la forme x = c. La division par zéro se produit dans la formule.

Interprétation du coefficient directeur

Un coefficient directeur positif indique que la droite est croissante. Plus 'a' est grand (en valeur absolue), plus la droite est raide.

Un coefficient directeur négatif indique que la droite est décroissante. Plus 'a' est petit (négativement), plus la droite est raide vers le bas.

Un coefficient directeur nul indique une droite horizontale.

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

Deux droites perpendiculaires ont des coefficients directeurs dont le produit est -1. Si une droite a un coefficient directeur 'a', une droite perpendiculaire aura un coefficient directeur de -1/a.

Exemples supplémentaires

Soient les points (0, 2) et (2, 6). Calculons le coefficient directeur :

a = (6 - 2) / (2 - 0) = 4 / 2 = 2

L'équation y = -x + 4. Le coefficient directeur est -1.

La droite passe par (1, 5) et (3, 5). Calculons le coefficient directeur:

a = (5 - 5) / (3 - 1) = 0 / 2 = 0

Il s'agit d'une droite horizontale.

L'équation 4x + 2y - 8 = 0. Réarrangez l'équation :

2y = -4x + 8 y = -2x + 4

Le coefficient directeur est -2.

Applications

Le coefficient directeur est utile dans de nombreux domaines, notamment :

Calculer des taux de variation.
Déterminer la pente d'une route ou d'un toit.
Modéliser des relations linéaires en physique, en économie et dans d'autres sciences.
Analyser des données statistiques.