Comment Calculer La Hauteur D Un Triangle Equilateral

Dans le monde de la géométrie, le triangle équilatéral occupe une place particulière. Ses trois côtés égaux et ses trois angles de 60 degrés en font une figure élégante et prévisible. Calculer sa hauteur est une opération fondamentale.

La hauteur d'un triangle équilatéral est la ligne perpendiculaire tracée depuis un sommet jusqu'au côté opposé. Elle divise ce côté en deux segments égaux. Elle divise également l'angle du sommet en deux angles égaux de 30 degrés.

Il existe plusieurs méthodes pour calculer la hauteur d'un triangle équilatéral. Chacune repose sur des principes mathématiques précis.

Méthode Utilisant le Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Un triangle équilatéral divisé par sa hauteur forme deux triangles rectangles identiques.

Si 'a' est la longueur d'un côté du triangle équilatéral, et 'h' est sa hauteur, alors:

Le côté opposé à l'angle droit dans l'un des triangles rectangles (l'hypoténuse) est 'a'.
L'un des côtés adjacents à l'angle droit est 'h' (la hauteur).
L'autre côté adjacent à l'angle droit est a/2 (la moitié du côté du triangle équilatéral).

Appliquez le théorème de Pythagore: a² = h² + (a/2)².

Isolez h²: h² = a² - (a/2)².

Simplifiez: h² = a² - a²/4.

Réduisez au même dénominateur: h² = (4a² - a²) / 4.

Simplifiez davantage: h² = 3a²/4.

Extrayez la racine carrée des deux côtés: h = √(3a²/4).

Simplifiez la racine: h = (a√3) / 2.

Donc, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 'a' est (a√3) / 2.

Méthode Utilisant la Trigonométrie

La trigonométrie offre une autre approche. Dans un triangle rectangle, les fonctions sinus, cosinus et tangente relient les angles et les longueurs des côtés.

Dans l'un des triangles rectangles formés par la hauteur du triangle équilatéral, l'angle au sommet est de 30 degrés. La hauteur est le côté opposé à cet angle, et le côté du triangle équilatéral est l'hypoténuse.

La fonction sinus relie le côté opposé à l'hypoténuse: sin(angle) = côté opposé / hypoténuse.

Donc, sin(30°) = h / a.

On sait que sin(30°) = 1/2.

Remplacez: 1/2 = h / a.

Multipliez les deux côtés par 'a': h = a / 2. * sin(60)*

Or, la trigonométrie nous indique que sin(60) = √3/2.

Donc, h = a * √3/2.

Ce qui équivaut à h = (a√3) / 2.

Cette méthode confirme le résultat obtenu avec le théorème de Pythagore.

Exemple Pratique

Supposons qu'un triangle équilatéral ait un côté de 6 cm. Calculons sa hauteur en utilisant la formule dérivée: h = (a√3) / 2.

Remplacez 'a' par 6: h = (6√3) / 2.

Simplifiez: h = 3√3 cm.

La hauteur de ce triangle équilatéral est donc de 3√3 cm, ce qui est approximativement égal à 5,196 cm.

Importance de la Hauteur

La hauteur d'un triangle équilatéral n'est pas seulement une mesure géométrique. Elle est essentielle pour calculer l'aire du triangle. L'aire d'un triangle est donnée par la formule: (base * hauteur) / 2.

Dans le cas d'un triangle équilatéral, la base est simplement la longueur d'un côté ('a'). Donc, l'aire est (a * h) / 2.

Remplacez 'h' par (a√3) / 2: Aire = (a * (a√3) / 2) / 2.

Simplifiez: Aire = (a²√3) / 4.

La hauteur est donc un élément clé pour déterminer l'aire d'un triangle équilatéral.

En Résumé

Calculer la hauteur d'un triangle équilatéral est une compétence fondamentale en géométrie. Le théorème de Pythagore et la trigonométrie offrent des méthodes précises pour effectuer ce calcul. La formule résultante, h = (a√3) / 2, permet de déterminer rapidement la hauteur connaissant la longueur d'un côté. Cette hauteur est ensuite utilisée pour calculer l'aire du triangle équilatéral. La compréhension de ces concepts renforce la maîtrise des principes géométriques de base.